二十一世纪以来，数学文化已经成为中学数学课程的一部分。基于数学文化融入教科书的意在育人、选材重宏观、方式需多样、讲述宜适龄四个原则，2024年人教版《义务教育教科书·数学》选取4种数学文化融入内容条目，5种数学文化融入方式，并设计了专属的数学文化栏目。一起来看人民教育出版社中学数学编辑室王嵘老师的“人教好文章”！

　　数学文化因其文理交融的特点与独特的数学教育价值，自二十一世纪以来，已经成为中学数学课程的一部分。2024年人教版《义务教育教科书·数学》将数学文化作为专题研究之一，从数学文化融入的原则、内容与方式等方面进行系统的研究，并在教科书编写时充分运用这些原则与模式，设计专属于数学文化的新栏目，采用图文结合的版式设计，让学生在文字阅读与视觉美感中认识数学、理解数学、欣赏数学。

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　　数学文化融入教科书的原则

　　1.1意在育人

　　《义务教育数学课程标准(2022年版)》提到，数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养。那么什么是素养？克莱因曾经举例，就像不能把人体结构中每一块骨骼的名称、位置和功能当作活生生的、有思想的、富有激情的人一样，也不能把数学只看作一系列无意义的、充满技巧性的程序。因此，数学文化融入教科书就是希望展现“活生生的”“有思想的”“富有激情的”数学，意在熏陶思想、丰富精神、领悟美、提升素养，培育具有正确世界观、人生观、价值观的人。

　　在教科书中，知识、方法、思想、历史、人物等都是可见的，需要浓墨重彩的是它们的文化价值，特别是精神价值和数学的美。比如，数学的理性精神，当我们学习几何时，以最基本的概念、命题，作为逻辑的出发点，运用演绎推理论证各种派生的命题，这种使知识系统化、逻辑化的公理化方法就是数学理性精神最震撼的体现。再如，数学的美学价值，至少可与其他任何一种文化相媲美。庞加莱曾说：“科学家研究自然，是因为他爱自然，他之所以爱自然，是因为自然是美好的。如果自然不美，就不值得理解；如果自然不值得理解，生活就毫无意义。当然，这里所说的美，不是感官美，也不是质地美和表现美；不是我低估那种美，完全不是，但那种美与科学不相干。我说的是各部分之间有和谐秩序的深刻的美，是人的纯洁心智所能掌握的美。”从文化的角度，融入教科书的数学文化在欣赏、领悟数学美上有着独特的优势：从几何图形的对称美到数学结构的和谐美；“负负得正”所蕴含的数学内部和谐统一、一致自洽的和谐美；从数学符号的简洁美到数学系统的形式美……

　　因此，当教科书呈现知识时，有一种文化的意识；讲述历史时，有一种文化的视角；展现人物时，有一种文化的情怀……那么，无论是隐性的融入还是显性的表述，都是为了揭示数学的文化价值，让学生熏陶思想、丰富精神、领悟美，全面提升个人素养，从而有助于数学教育的立德树人。

　　1.2选材重宏观

　　数学文化融入教科书内容的选择，需要一种系统性的考察，一是数学文化的特点，二是教科书编研的特点。在数学历史的进程中，经过长期的积累，一些思想、精神、价值等慢慢植根于人们心灵深处，形成了文化。因此，当我们去学习数学文化、提升素养时，置身一个比较宏大的场景中，有利于揭示数学文化价值、营造数学文化意境、提升数学文化品味。此外，教科书编研是一个系统工程，这个系统研究往往划分为知识内容和特色主题两类研究，而数学文化属于特色主题类，特色主题之间虽然无法避免交叉，但是应追求交集最小化。例如，问题情境主题和数学文化主题，情境中的科学技术类在一定程度上也可以看作数学文化中的科学价值内容，为了避免交叉，数学文化在科学价值内容选择上就会更加注重从宏观的角度选材。

　　因此，数学文化内容的选取，不是一个概念、一个定理、一个方法、一个应用、一个问题的选择，而是需要站在宏观的角度，在一段历史进程中，在一件重大事件中，在一个相关领域中，有社会、时代背景，有完整的思想发展画卷，有鲜活灵动的人物精神，从而体现出数学的各种文化韵味：社会性、深刻性、精神性、价值性、人文性等。

　　1.3方式需多样

　　知识是文化的载体，可以说知识本身的学习就蕴含着数学文化的渗透。这是数学文化在教科书中的一种隐性融入；另一种是数学文化在教科书中的显性融入，即以数学文化为呈现焦点，数学知识为载体，即教科书的一个问题、一个栏目、一个题目、一段文字的呈现角度是“数学文化”，而非“数学知识”。对于后者，需要设计相应的呈现方式。这里主要探讨的是数学文化的显性融入方式。

　　教科书的载体特点是容量有限，它受知识量、课时、学生负担、定价等多种主客观因素制约，而且关于数学文化，课程标准并没有安排专门的课时。在这种情况下，数学文化融入教科书方式的多样化尤为重要。首先，充分利用教科书空间，灵活地呈现数学文化内容，比如，教科书的边空、拓展的栏目等；其次，与其他主题相结合，实现“1+1>2”的效果，比如，借助“综合与实践”主题的跨学科特点，在数学与建筑、音乐等相联系时，在这个领域内展现数学的美等。

　　1.4讲述宜适龄

　　数学往往给人一种冰冷的感觉，一方面是与数学的“理性”有关，讲逻辑、明推理、求简洁，另一方面也与数学的符号语言有关，随着学习的深入，入目皆“符号”。因此，当在教科书中融入数学文化时，应充分借助数学文化“文理交融”的天然性，考虑学生的年龄特征，选择适合他们的讲述方式，比如，注重文字表述的故事性和版式呈现的图文并茂性。

　　当以一段故事讲述数学文化时，一是讲故事的角度，多视角地满足不同学生的兴趣，比如，“历史与发展”“思想与方法”“联系与互动”“人物与精神”“趣味与应用”等；二是讲故事的方式，多场景中带来身临其境的体验，比如，认知冲突中的问题解决，时间轴上跌宕起伏的事件发展，跨越时空的传承与超越等。当图文并茂地讲述数学文化时，一是插图的适切性和丰富性，比如，统一风格的数学家画像，承载数学成果与文化韵味的文物照片，铭记卓越人物与成就的纪念币等；二是版式的设计，需要结合数学文化主题的特点突破传统教科书版式上的一些设计变化，多一点色彩、多一点活泼、多一点人文感等。总之，图文版式的设计需丰富而不繁复，从而实现美的视觉享受与轻松的阅读体验。

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　　数学文化融入教科书的模式

　　2.1数学文化融入的内容

　　基于数学文化融入教科书的“选材重宏观”原则，聚焦揭示数学的科学价值、应用价值、人文价值，从而实现数学文化内容的“意在育人”，我们选择4种融入教科书的数学文化内容条目：（1）数学的形成与发展；（2）数学在人类文明中的贡献和意义；（3）数学的人文价值；（4）中华民族的数学成就。

　　条目（1）意在以数学史上的人或事为脉络，展示数学发展的壮美图景；借助数学史料或经典数学问题，阐述数学及数学研究的方法。在这种展示和阐述中，关注数学本身发展规律的揭示，比如，数学的运行法则是怎样的，数学的思维方式是怎样的，在这种运行法则和思维方式之下，数学的结构有哪些特点，等等。例如，七年级上册设置了一个“探究与发现从数系扩充看有理数乘法法则”，其中首先结合所学内容提出问题“应当怎样规定这些运算呢？”；然后明确从数系扩充角度，“希望在有理数中新规定的加法、乘法运算与非负有理数中相应的运算具有一致性，并且加法、乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律”，接着依照此设想，就“1×(-1)，0×(-1)，(-1)×(-1)”进行代数推理，在推理基础上得到结论“规定1×(-1)=-1，0×(-1)=0，(-1)×(-1)=1是合理的”；最后提出问题“一般地，你能从数系扩充的角度说明有理数乘法法则的合理性吗？”。通过探究与发现，让学生体会到数学的一项运行规律，即数系扩充时“规定的新数的算法，需要符合乘法运算律（交换律、结合律、分配律）”，因此虽然数学中有很多规定，但是这些规定是“合理合法”的，并不是任意而为。当学生在一定程度上了解了数学运行的规则，他就能更加理解这些“数学符号的运算”究竟是在做什么，从而做到心中有数，也能避免因为不了解全貌而产生“枯燥、无味”之感。

　　条目（2）意在将数学置于更广阔的社会与文化背景中，阐明数学与其他文化、整个文明的关系，特别是数学在人类文明发展中所起的关键作用，从而让学生认识数学的科学价值和应用价值。例如，《几何原本》借助公理化方法从5个公理、5个公设和一些基本定义出发，建立了一座由400多个定理组成的“几何大厦”，即历史上第一个数学公理化体系——欧氏几何。自此，这种方法成为数学乃至其他科学发展的公理化典范。八年级上册中设置的“图说数学史公理化方法”就借助这颗人类文明中的璀璨明珠，首先讲述什么是公理化方法，并选取汉译本中“刻几何原本序”的图片，从译者徐光启的角度评述欧几里得的《几何原本》及第一个数学公理化体系；然后展示解决由第五公设引发的困惑过程中所产生的不同的几何；最后点明公理化方法的作用，让学生感受这种方法甚至对人们的观念都产生深远的影响，即启示人们在众多事物中可以找出最基本的，并把它们作为起点，以推导出更复杂的结论，形成一个体系。

　　条目（3）意在从精神理念和价值观层面展现数学文化的独特性，让学生有意识地感受数学美、体会数学精神。例如，当艺术家用基本几何形式表达自己时，作品呈现出别具一格的美，七年级下册中的“探究与发现利用平移设计图案”从平移的角度揭示埃舍尔的绘画艺术，简单的重复可以绘制整个平面的美丽图案，给人整齐有序、无限延展的感觉；当建筑师在建筑设计时，将几何图形运用到设计之中，会给建筑物带来数学美，九年级下册中的“综合与实践建筑中的数学”让学生在活动中去发现建筑中的简洁美、对称美、和谐美，如冰晶状的立方体“水立方”造型简洁现代，而且这个“方盒子”蕴含着中国传统文化中的“天圆地方”；等等。

　　条目（4）意在展现中国传统的优秀数学文化，让学生在了解中华民族数学成就中感受我们所独有的思考和学习方式，增强民族自豪感。正如德国学者诺贝特·埃利亚斯在《文明的进程:文明的社会起源和心理起源的研究》中指出，文化是使民族之间表现出差异性的东西，它时时表现着一个民族的自我和特色。中国传统数学文化源远流长，有其自身特有的思想体系与发展途径，呈现出鲜明的特色。比如，中国最古老的天文学和数学著作《周髀算经》中就记载了勾股定理的证明，八年级下册中“勾股定理”一章就以这本经典算书及其中周公与商高之间有关勾股定理的讨论页面为章头图，开启了勾股定理的学习；虽然我国古代数学并不以严谨的论证为主，但是相比于直截了当的“证明”，给出清晰明了的勾股定理的图解能得到更加丰富的内容，就像教科书给出的弦图，通过颜色说明这一定理的证明过程。再如，古人特别擅长数字组合，这一点在“洛书”中体现得尤为充分——横线、纵线、斜线上的各数之和都相等，即三阶幻方，它不仅是“数字游戏”，还象征着中国古人的现实观，七年级下册的数学活动“填幻方”就提供了这样的一个场景，在有趣的填数活动中了解起源于中国古代数学的杰作之一——幻方，并且点明其出处——“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，由此引发学生的兴趣和探索欲。

　　2.2数学文化融入的方式

　　基于数学文化融入教科书的“方式需多样”的原则。我们设计了五种数学文化融入方式：片段式、旁注式、问题式、短文式、项目式。

　　片段式，通常是一段融入章引言、知识讲解、小结的文字，或者是知识讲解中一个文字类阅读栏目。例如，七年级上册引入负数时，选取了三幅图片，一幅是结绳记数，说明由记数、排序，产生了数1，2，3…；一幅是空无一物的瓦罐，说明由表示“没有”“空位”产生了数0；一幅是两人分物，说明由分物、测量，产生分数…。当人们遇到的情况越来越多，对于数的需求也在增加，而面对具有“相反意义的量”的情景时，就需要引入一类新的数，于是从数产生的动力的角度自然而然地引入负数。再如，数学的发展中有很多突破是在一定积累下，由某个(些)数学家敏锐的洞察力发现的。七年级下册在用坐标描述简单几何图形中安排了一个“溯源”栏目，讲述笛卡儿坐标的由来，并用两句话概括它的里程碑作用：“十七世纪，法国数学家笛卡儿引入坐标系，用方程表示曲线，开了用代数方法解决几何问题的先河。从那以后，数学的面貌发生了划时代的变化，代数和几何两大领域更加密切地联系起来。”

　　旁注式，通常是以小贴士的形式搭配在相应的知识讲解旁边。例如，数发展的动力一方面是实际的需要，一方面是数学内部运算封闭性的需要。教科书将作为引入负数的背景以片段式的方式呈现，而数学内部的需求则是在讲解有理数减法时，以旁注的方式放在一个“思考”栏目旁边：“在数学发展史中，使较小的正数减去较大正数的运算能正常进行，并与已有的运算不矛盾，是引入负数的一个重要原因。”再如，同一数学成就在不同的地域中都有独立的发现与发展，从中我们能更加明显地看到民族文化带来的差异性及数学本身的统一性。八年级上册中的“阅读与思考杨辉三角”，介绍了杨辉三角的来源及方法。同时，也用一个旁注说明：“这个三角形被欧洲学者称为‘帕斯卡三角形’。法国数学家帕斯卡于1654年发现了此三角形。”

　　问题式，通常是栏目问题、例题或习题。2024年版教科书将数学发展中许多著名的、经典的问题改编为教科书中的问题。例如，九年级下册“相似”一章的复习题中，有一道习题就出自魏晋时期数学家刘徽所研究的重差术，这个方法充分体现我国古算“原理简明与应用广泛交相辉映”的独特风格。再如，七年级上册“一元一次方程”一章中有一道习题出自丢番图的墓志铭，这个概括了他一生的数学问题，既能引发学生的兴趣又能让他们看到数学家的生动。又如，七年级下册“实数”章小结中的问题7：“数的范围是如何从正整数逐步扩充到实数的？随着数的范围的不断扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？”在数系扩充到实数后，章小结用几个问题让学生跳出具体的知识，站在数系扩充的视角，全面地思考数是怎么产生的、构成一个数系的核心是什么、数系扩充的规律是什么等，从而明白数学在做什么、如何做。

　　短文式，通常是一篇完整的短文。与中学相关的数学分支，如代数、几何、概率、统计等，教科书基本都以短文方式做了介绍，而对于数学在人类文明中的贡献、意义及人文价值，也选择了某些主题以短文方式呈现。例如，七年级上册中的短文《数字1与字母X的对话》采用对话形式，在生动有趣的场景中让学生认识到代数学的最大特点是引入未知数，并对未知数加以运算，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数。再如，九年级下册中的短文《视图的产生与发展》以一种极简的、线条式的方式展现数学与其他领域及社会生活之间的相互作用，在这种相互作用中视图、投影得以产生，而它们在数学上进一步发展、完善为画法几何、射影几何后，又获得了数学外部更加广泛的应用。

　　项目式，通常是一个数学活动，在不同层次的实践性、综合性活动中展现数学在人类文明中的贡献和意义、数学的人文价值等。数学是创造性的艺术，在这个过程中，不仅有令人惊叹的直觉、想象，而且有炫目的数学美。八年级下册的数学活动“利用勾股定理绘制图案”就提供了一个这样的创造活动，一个简单的数学规则，重复一遍又一遍，一个非常复杂的结构就产生了，同时一个具有惊人魅力的图案也产生了。比如勾股树，在创造过程中学生就能感受到数学的这种无限之美。再如，八年级下册“综合与实践音乐中的数学”，让学生在“音乐律制中蕴含的数学原理”“从函数角度分析乐谱”“乐器的分析与制作”等活动中认识音乐与数学的关系，感悟和谐美在内心世界引起的共鸣。

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　　数学文化融入教科书的新栏目

　　相较之前版本，2024年版教科书在数学文化融入方面最大的变化就是实现了一种整体性的规划与设计，除了原则、模式的系统研究，一个具体的体现就是数学文化有了自己的栏目。一个是正文栏目“溯源”，一个是拓展性栏目“图说数学史”。

　　溯源，顾名思义，就是追本溯源。这个栏目意在讲到某些重要概念、定理、方法，以及某些有特色的数学元素（如名称、符号等）时，采用文字表述或图文结合方式，在追本溯源的过程中帮助学生自然地理解知识，感受学习的必要性，突破学习难点，拓宽视野，感受数学美等。全套书一共有7个“溯源”，“数与代数”领域4个，“图形与几何”领域3个，涉及的主题有负数、方程、角度制、坐标系、指数幂、圆等。例如，整数指数幂这一节以“溯源”引入，首先以时间轴的方式直观呈现正整数指数幂的符号由复杂到简明的演变；然后通过牛顿的一段话，说明他由正整数指数符号获得启发，将“除法”写成负整数指数幂的形式，无形中将指数幂从正整数推广到负整数，由此凸显好的符号不仅简明、有利于运算，而且有助于数学概念的进一步推广；最后安排一个“思考”栏目，让学生思考牛顿设想的合理性，并引导学生从运算角度探索规定的合理性。因此，从数学文化的角度，这个溯源主要有三个目的:一是让学生在幂的符号演变的过程中，感受数学符号的价值与数学美；二是让学生看到联想与直觉在推广一个数学概念的过程中的价值；三是在一种自然的推广中帮助学生理解规定的合理性。

　　图说数学史，以图文并茂的方式较为完整地呈现一个数学分支、一个重要思想方法的发展脉络。这个栏目意在让学生站在社会、历史、文化的宏观背景中，从整体上认识数学的产生与发展，在比较中认识不同地域数学研究的特色，在古今穿梭中看到数学的传承与发展……从而感悟数学精神，领略数学美。全套教科书一共有9个“图说数学史”，每册一两个；“数与代数”领域3个，“图形与几何”领域4个，“统计与概率”领域2个，涉及几何、概率、统计三个分支，负数、函数两个重要概念，勾股定理一个重要定理，方程解法、公理化方法、圆周率计算方法三个重要方法。值得一提的是，在版式设计上，“图说数学史”也统一风格，即采用图文结合的方式，以多彩的插图呈现历史，以简短的文字解读数学文化内涵。以其中一篇“中国古代数学家的辉煌成就——解一元一次方程组”为例，它涉及的主题是中国数学蓬勃发展中的解方程，内容包括直除法和互乘相消法，刘徽、贾宪、杨辉、梅文鼎对求解多元一次方程组的贡献，以及吴文俊先生的古为今用。为了将这些分散的点组成一幅具有视觉美感的画面，这篇“图说数学史”：用“一本书”作为底图，当翻开这本书，四位数学家带着他们的数学成就跃然纸上；用“一个时间轴”从魏晋到清朝，展示数学知识的传承与发展；用“两个时空”左右对比，叙述数学方法跨越千年仍然焕发出新的光彩，令人感叹数学就是那么奇妙；用“四幅数学家画像”，来一场面对面的跨越千年的眼神交流与对话。

　　总体而言，2024年版教科书在数学文化的设计方面，无论是融入正文，还是以特色栏目呈现，都希望既能让学生在学习知识的同时认识数学、理解数学、欣赏数学，也能聚焦一个主题，以史为载体，独品文化韵味。

　　（因版面所限，转载时省略了原文的参考文献。）

　　内容来源 | 《中学数学教学参考》2024年第29期

　　作者 | 王嵘，人民教育出版社中学数学编辑室主任，编审